CONTINUIDAD y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

DESCONTINUIDAD

Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto

 

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

  

EJEMPLO

 

APLICACIÓN

El modelo de relación espacial mas frecuente es la continuidad; ésta se puede entender la propiedad de la percepción que nos lleva a agrupar todos aquellos elementos que siguen una misma línea o dirección, es decir, nos permite identificar claramente distintos espacios y que estos respondan, del modo idóneo, a sus exigencias funcionales y simbólicas.

El grado de continuidad espacial y visual que se establece entre distintos espacios se definirá a partir de las características del plano que los une o los separa. 

Para las aplicaciones de la continuidad; estas se utilizan en la arquitectura moderna.

BIBLIOGRAFIA

• http://continuidaddelespacio.blogspot.com/2011/09/continuidad-espacial.html
• http://www.parro.com.ar/definicion-de-continuidad
• http://www.vitutor.com/fun/3/b_1.html
• http://alberto-montealegre.blogspot.com/2001/12/la-discontinuidad-de-la-arquitectura.html

LIMITES

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

 

 APLICACIONES

En la Arquitectura se utilizan los límites de una función para:

Si se va a construir una obra en la que debes realizar aproximaciones con un margen de error mínimo debes usar límites. 

Saber el crecimiento de una colonia en la cual se va a trabajar; y el trabajo que éste desempeñará, al construir una vivienda más por cada habitante que se integre.

LIMITES INFINITOS

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro. 

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a. 

 Las aplicaciones de los limites dichos anteriormente se utilizan para la arquitectura Moderna.

BIBLIOGRAFIA

• http://www.vitutor.com/fun/3/a_3.html
• https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090920140630AA8KLvB 
• http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites.html

 

F. EXPONENCIALES

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = a^x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

 

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.

Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = a^x, se cumplen las siguientes propiedades generales:

• La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a⁰ = 1.
  
• La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a¹ = a.
  
• La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado. f (x + x?) = a^x+x? = a^x × a^x? = f (x) × f (x?).
  
• La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:
  f (x - x?) = a^x-x? = a^x/a^x? = f (x)/f (x?).
   

  EJERCICIO

  

   APLICACIONES

   Torre Eiffel (1889)
  Esta estructura de hierro pudelado diseñada por Gustave Eiffel aplica el álgebra y el cálculo infinitesimal para desarrollar una ecuación adaptable al peso de la torre. Para hacernos una idea de cómo se aplica, antes se debe comprender qué es una ecuación exponencial.
   
  
  

F. LOGARITMICAS

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f(x)= log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

log_a x = b      Û      a^b = x. 

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

• La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
• Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
• En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_a 1 = 0, en cualquier base.
• La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
• Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1. 

 

EJERCICIO

 

BIBLIOGRAFIA

•  http://www.hiru.com/matematicas/funcion-exponencial
• http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica 
• http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html
• http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html

 

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométrica-mente o por medio de sus relaciones.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α.
• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo α.

EJEMPLO:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA ARQUITECTURA

La matemática hace el diseño de edificios más seguro y más preciso. La trigonometría es especialmente importante en la arquitectura, ya que permite al arquitecto calcular las distancias y las fuerzas relacionadas con elementos de la diagonal. 

De las seis funciones de trigonometría básicas, el seno, el coseno y la tangente son los más importantes para la arquitectura, ya que permiten al arquitecto encontrar fácilmente los valores opuestos y adyacentes relacionados con un ángulo o la hipotenusa, la traducción de un vector diagonal en vectores horizontales y verticales.

Midiendo la altura de un edificio

Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo θ (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de θ (H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la tangente de θ por la distancia D (H = D tgθ). El ángulo se puede medir con exactitud utilizando un teodolito (instrumento destinado a ubicar un objeto a cierta distancia mediante la medida de ángulos con respecto al horizonte y con respecto a los puntos cardinales). Pero también se puede hacer uno con un transportador de ángulos, cilindro hueco (podría ser la parte que recubre un lapicero) y una plomada (hecha con algún peso que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador; luego fijamos el cilindro a lo largo de la base del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.

BIBLIOGRAFÍA:

http://www.vitutor.com/al/trigo/triActividades.html

http://www.ehowenespanol.com/trigonometria-arquitectura-como_127481/

http://luxdiscendi.blogspot.com/2012/06/aplicaciones-de-la-trigonometria.html
http://funcionestrigonometricas.blogspot.com/