APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. 

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

Consideremos la gráfica de abajo  en la que se tiene el recorrido de un ciclista en una carrera; en ella se observan desniveles en el recorrido,  se tiene un primer trozo en el que el ciclista sube,

  después baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto "subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos sus asociados del eje Y, se observa que si x<y entonces se tendrá que f(x)<f(y).     Si por el contrario tomamos dos puntos del eje X en los que la función "baja" con x<y y obtenemos sus asociados del eje Y, se tiene que debido a la bajada f(x) tiene que ser mayor que f(y).
 

Definición 1.- Sea un intervalo y sea f una función con dominio I. Entonces:
 

• Decimos que f es creciente en I si  x, y  I,  tales que x<y se tiene que f(x) f(y)
• Decimos que f es decreciente en I si  x, y I tales que x<y se tiene que f(y) f(x)

Si una función es creciente o decreciente diremos que es monótona.

•  Decimos que f es estrictamente creciente en I si  x,y I tales que x<y se tiene que f(x)<f(y)

• Decimos que f es estrictamente decreciente en I si x,y I tales que x<y se tiene que f(y)<f(x)

• Si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente diremos que es estrictamente monótona.

  

MOVIMIENTO RECTILINEO

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t²+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

•  2 y 3 s.
•  2 y 2.1 s.
•  2 y 2.01 s.
•  2 y 2.001 s.
•  2 y 2.0001 s.
•  Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)	x’ (m)	Δx=x'-x	Δt=t'-t	m/s
3	46	25	1	25
2.1	23.05	2.05	0.1	20.5
2.01	21.2005	0.2005	0.01	20.05
2.001	21.020005	0.020005	0.001	20.005
2.0001	21.00200005	0.00200005	0.0001	20.0005
...	...	...	...	...
			0	20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

• La posición del móvil en el instante t es x=5t²+1
• La posición del móvil en el instante t+Dt es  x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1
• El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt²
• La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

La función f(x)=x³ - x² - 12x no tiene extremos absolutos en el intervalo abierto (-4,5), ¿por qué? Fíjate en la siguiente gráfica:

f(x)= x3 - x2 -12x f'(x)= 3x2 - 2x -12 Números críticos: {-1.69425, 2.36092}

    Si prestamos atención a los valores de la función para aquellas x's cercanas a (o en la vecindad de) x=c₁ y x=c₂ (los puntos azules de la gráfica), observarás que f(c₁) es el valor máximo de la función en un intervalo (a₁,b₁) que contenga a c₁ y f(c₂) es el valor mínimo de la función en un intervalo (a₂,b₂) que contenga a c₂.

    Estos puntos reciben el nombre de extremos relativos o locales, y se definen como sigue:

 Definición de extremo relativo:

• Un número y₁=f(c₁) es un máximo relativo de una función f, si f(x) f(c₁) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c₁.
• Un número y₁=f(c₁) es un mínimo relativo de una función f, si f(x)f (c₁) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c₁.

  Es importante notar que f(c) debe estar definida para que el número c sea un valor crítico. Enunciamos en seguida dos importantes teoremas.

Teorema:

Si una función f(x) tiene un extremo relativo en un número c, entonces c es un valor crítico.

APLICACIONES EN LA ARQUITECTURA

Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x²+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 , 

 

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

 

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)²+0,8.200-5=75 euros

 
En la arquitectura se puede utilizar las derivadas para determinar un numero máximo o un numero mínimo de que es lo que utilicen dentro de una obra o bien para identificar el presupuesto para alguna inversión de material nuevo.

 BIBLIOGRAFIA

http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/Extremos_relativos.htm
http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html
http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
http://www.matematicasfisicaquimica.com/matematicas-bachillerato/39-matematicas-bachillerato/659-ejercicios-solucion-calculo-derivadas-matematicas-bachillerato.html

 

 

DERIVADAS

• DEFINICIÓN:

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.

Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Arquitectura, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

Se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente.

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

Se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño.

• FÓRMULA

• EJERCICIO RESUELTO

Calcular la derivada de la función f(x)=3x^2 en el punto x=2.

 

Estudiar los máximos y mínimos de:

f(x) = x³ − 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x² − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

• APLICACIÓN A LA ARQUITECTURA

La importancia de la aplicación de las derivadas es muy vital en el desarrollo del campo de la arquitectura, ya que se da valor al cálculo de espacios en una edificación con relación al tiempo en el que sus materiales con lo que se construye pueda resistir en un tiempo muy determinado con respecto a sus cambios y diferentes procesos que se visualizan cada día en la arquitectura.

En la construcción de puentes vehiculares, las derivadas te proporcionan la suavidad con la que crece o disminuye la pendiente de la tangente a la curva que describe el puente, la suavidad es la más apropiada para un fácil ascenso y un seguro descenso.

1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)

 

Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué constatas con relación a su inclinación?

Tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.

Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reduciéndose.

Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?

 La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.

• TIPO DE ARQUITECTURA

Arquitectura Moderna

• BIBLIOGRAFÍA

- http://clubensayos.com/Temas-Variados/Aplicacion-De-Calculo-Diferencial-En/1395604.html

- http://es.slideshare.net/yuritow/aplicacion-de-la-derivada-en-el-mundo-real-10092281
- http://www.incress.com/valores-participacion/2012/07/28/%C2%BFque-es-y-para-que-sirve-una-derivada/